ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗМЕРА КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА

Введение

В настоящее время существует множество различных численных методов определения напряженно-деформированного состояния (НДС) объектов. Наибольшее распространение получил метод конечных элементов в перемещениях (МКЭ).

Суть метода заключается в том, что объект разбивается на некоторое число малых, но конечных по размерам подобластей. Последние носят название конечных элементов (КЭ), а сам процесс разбивки – дискретизацией.

МКЭ имеет кроме обычных ошибок округления также ошибки, связанные непосредственно с дискретизацией конечно элементной сетки.

Ошибки дискретизации уменьшаются с увеличением числа КЭ и соответственно с уменьшением их размеров, причем ошибки стремятся к нулю, когда размер КЭ стремится к нулю. Однако в этом случае время решения задачи стремится к бесконечности.

Для получения результатов с приемлемым уровнем ошибок за удовлетворительное время необходимо определить оптимальный размер КЭ.

 

Машинный эксперимент

Для определения оптимального размера КЭ было проведено 2 машинных эксперимента: расчет патрубка и вмятины. Ниже представлены основные этапы каждого эксперимента:
1. В системе трехмерного твердотельного и поверхностного проектирования Autodesk Inventor была создана поверхностная модель (рис. 1.1, рис. 2.1);
2. Поверхностная модель была импортирована в универсальную программную систему конечно-элементного анализа ANSYS;
3. В ANSYS импортированная модель была разбита на КЭ с использованием SHELL181 (рис. 1.2, рис. 2.2);
4. Для конечно-элементной модели были заданы граничные условия (внутреннее давление и закрепления) (рис. 1.3, рис. 2.3);
5. Были проведены расчеты с изменением размера КЭ 10t, 8t, 6t, 4t, 2t, t, где t = 20 мм – толщина стенки модели. Для размера КЭ = 4t выведены карты распределения эквивалентных напряжений (SINT) (рис. 1.4, рис. 2.4) и суммарных перемещений (USUM) (рис. 1.6, рис. 2.6);
6. Был проложен «путь», вдоль которого были построены карты распределения (рис. 1.8, рис. 2.8) и графики (рис. 1.9, рис. 2.9) SINT для различных размеров КЭ. Для размера КЭ = 4t построены графики зависимости значения SINT (рис. 1.5, рис. 2.5) и USUM (рис. 1.7, рис. 2.7) вдоль «пути»;
7. Были проанализированы результаты (рис. 1.10, 2.10) и сделаны выводы об оптимальном размере КЭ для оценки НДС.

 

Расчет патрубка

 

Рис. 1.1. Геометрия поверхностной модели	Рис. 1.2. Расположение «пути» (Н – начало, К – конец)

 

Рис.1.3. Граничные условия

 

Рис. 1.4. Карта распределения SINT, [Па]	Рис. 1.5. График зависимости значения SINT вдоль «пути», [Па/м]

 

Рис.1.6. Карта распределения USUM, [м]	Рис. 1.7. График зависимости значения USUM вдоль «пути», [м/м]

 

а) 10t	б) 8t
в) 6t	г) 4t
д) 2t	е) 1t
Рис. 1.8. Карты распределения SINT в элементах, при различном размере КЭ, [Па]

 

Рис. 1.9. Графики зависимости значения SINT для различных размеров КЭ вдоль «пути»

 

Был получен график зависимости SINT в концентраторе (MX) и относительная погрешность ε от размера КЭ (рис. 1.10). Относительная погрешность ε была определена по формуле:

ε = (SINT_n – SINT_t) / SINT_t, где n = 10t,8t,6t,4t,2t, t.

 

Рис. 1.10. Графики зависимости SINT в концентраторе и ε от размера КЭ

 

Выводы:
1) Оптимальный размер КЭ для оценки НДС подобных элементов равен 4t.
2) Размер КЭ существенно не влияет на значение напряжений не в концентраторе и зону их распространения.

 

Расчет вмятины

 

Рис. 2.1. Геометрия поверхностной модели	Рис. 2.2. Расположение «пути» (Н – начало, К – конец)
Рис. 2.3. Граничные условия

 

Рис.2.3. Граничные условия

 

Рис. 2.4. Карта распределения SINT, [Па]	Рис. 2.5. График зависимости значения SINT вдоль «пути», [Па/м]

 

Рис.2.6. Карта распределения USUM, [м]	2.7. График зависимости значения USUM вдоль «пути», [м/м]

 

а) 10t	б) 8t
в) 6t	г) 4t
д) 2t	е) 1t
Рис. 2.8. Карта распределения SINT в элементах, при различном размере КЭ, [Па]

 

Рис. 2.9. Графики зависимости значения SINT для различных размеров КЭ вдоль «пути»

 

Рис. 2.10. Графики зависимости SINT в концентраторе и ε от размера КЭ

 

Выводы:
1) Оптимальный размер КЭ для оценки НДС подобных элементов равен 9t.
2) Размер КЭ существенно не влияет на значение напряжений не в концентраторе и зону их распространения.

 

Заключение:
1) Для оценки напряжений в концентраторах с резким изменением геометрии формы, такие как патрубки, необходимо применение мелкой сетки КЭ (4t). Если геометрия поверхности меняется плавно, как например во вмятине, то возможно применение более грубой сетки (9t).
2) В любом случае для более корректной оценки НДС рекомендуется проводить субмоделирование с использованием объемных элементов SOLID.

 

скачать "ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗМЕРА КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА"